群中單位元是否一定唯一

群與單位元的證明題目

（1） “單位元”的定義就是：這個元素與A中的任何一個元素作*運算結果必等于那個元素，這個元素就叫做單位元。 “單位元是唯一的”，也就是說，如果元素I是單位元，J也是單位元，那么I和J一定是同一個。證明如下：根據單位元的定義，I是單位元，則I*J應該等于J；又因為J是單位元，則I*J應該等于I；即：I*J既等于J，又等于I。所以J = I ，即I和J是同一個元素。（2）對于元素a，設b是它的逆元，c也是它的逆元，下面證明一定b = c。其中引用了“逆元”的定義、“單位元”的定義、“結合律”。如下： b = b * 單位元 = b * （a * c）= （b * a）* c = 單位元 * c

有限群中每一個元素的階都是有限的

因為a的1次到m＋1次這m＋1個元素都是G中的元素，而G中只有m個不相同的元素。

證明：

群中的每一個元素的階均不為且單位元是其中惟一的階為1的元素。因為任一階大于2的元素和它的逆元的階相等。且當一個元素的階大于2時，其逆元和它本身不相等。故階大于2的元素是成對的。從而階為1的元素與階大于2的元素個數之和是奇數。

因為該群的階是偶數，從而它一定有階為2的元素。

擴展資料：

設G是一個群， 如果G是有限集合，那么就稱為有限群。

假若群G是一個有限群，則組成G的元的個數為G的階，記為 |G|。

有限群的分類是個重要的數學問題。這個問題經過許多數學家的努力中有了完美的答案（相關概念如“魔群”）。

比如素數階的有限群都是循環群。

參考資料來源:百度百科-有限群

給一個有限群,證明單位元e是唯一的

反證法 假設群存在兩個單位元：a，b（a≠b），那么根據單位元性質會有a?b=a，b?a=b，與已知矛盾，故假設不成立，原命題成立?！菊?給一個有限群,證明單位元e是唯一的【提問】 稍等【回答】 反證法 假設群存在兩個單位元：a，b（a≠b），那么根據單位元性質會有a?b=a，b?a=b，與已知矛盾，故假設不成立，原命題成立?！净卮稹?h3>設*是A上的二元運算 （1）若存在單位元 證明單位元是唯一的 （2）若*滿足結合率，證明逆元是唯一的

證明：根據單位元的定義，I是單位元，則I*J應該等于J；又因為J是單位元，則I*J應該等于I；即：I*J既等于J，又等于I。所以J = I ，即I和J是同一個元素。

存在性：當x=a-1 b（∈G）時a x=a a-1 b=b。

唯一性：假設x1x2都滿足條件，x1=a-1 a x1=a-1 b=a-1 a x2=x2。

各結點度數之和應為邊數的2倍，為偶數，若度數為奇數的結點是奇數個各結點度數之和為奇數，矛盾。故任一圖中度數為奇數的結點是偶數個。

含義

這里的左逆元和右逆元是針對給定運算的某個元素而言的。我們說某個元素有沒有逆元素，而不能說某個代數系統有沒有逆元素。另外還需要說明：

(1)一個元素可以沒有左逆元和右逆元；

(2)一個元素可以只有左逆元；

(3)一個元素可以只有右逆元；

(4)一個元素可以既有左逆元，又有右逆元。